|
|
|
\require{AMSmath}
Reageren...
Re: Goniometrische vergelijkingen
Hallo,
Uit mijn boek moet ik bewijzen dat voor alle n als element van  geldt:
$
\sum\limits_{k = 0}^n {\left( {\begin{array}{*{20}c}
n \\
k \\
\end{array}} \right)} = 2^n
$
Nu heb ik geprobeerd dit te bewijzen met behulp van volledige inductie, maar dit komt niet uit. Van mijn boek word ik niet veel wijzer en ik kan niets vergelijkbaars vinden op internet. Weet u misschien hoe ik dit kan oplossen?
Alvast bedankt!
Antwoord
Ga uit van het binomium van Newton:
$
\begin{array}{l}
(a + b)^n = \left( {\begin{array}{*{20}c}
n \\
0 \\
\end{array}} \right)b^n + \left( {\begin{array}{*{20}c}
n \\
1 \\
\end{array}} \right)ab^{n - 1} + ... + \left( {\begin{array}{*{20}c}
n \\
{n - 1} \\
\end{array}} \right)a^{n - 1} b + \left( {\begin{array}{*{20}c}
n \\
n \\
\end{array}} \right)a^n \\
neem\,\,a = b = 1 \\
\left( {1 + 1} \right)^n = \left( {\begin{array}{*{20}c}
n \\
0 \\
\end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}c}
n \\
1 \\
\end{array}} \right) + ... + \left( {\begin{array}{*{20}c}
n \\
{n - 1} \\
\end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}c}
n \\
n \\
\end{array}} \right) \\
2^n = \sum\limits_{k = 0}^n {\left( {\begin{array}{*{20}c}
n \\
k \\
\end{array}} \right)} \\
\end{array}
$
..en meer moet het niet zijn.
Zie ook Wat is het verband tussen de driehoek van Pascal en het binomium van Newton?
Gebruik dit formulier alleen om te reageren op de inhoud van de vraag en/of het
antwoord hierboven. Voor het stellen van nieuwe vragen kan je gebruik maken
van een vraag stellen in het menu aan de linker kant. Alvast bedankt!
|
